tugas statistika bab 7 tugas 9

               Pengujian hipotesis

     bab 7

                hipotesis adalah jawaban sementara terhadap suatu masalah. Jawaban tersebut masih perlu diuji     kebenarannya. Seorang peneliti pasti akan mengamati sesuatu gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi focus perhatiannya. Sebelum mendapatkan fakta yang benar, mereka akan membuat dugaan tentang gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi titik perhatiannya tersebut.

      2. Fungsi Hipotesis

Fungsi atau kegunaan hipotesis yang disusun dalam suatu rencana penelitian, setidaknya ada empat yaitu:

a.    Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta memudahkan perluasan pengetahuan dalam suatu bidang.

Untuk dapat sampai pada pengetahuan yang dapat dipercaya mengenai masalah pendidikan, peneliti harus melangkah lebih jauh dari pada sekedar mengumpukan fakta yang berserakan, untuk mencari generalisasi dan antar hubungan yang ada diantara fakta-fakta tersebut. Antar hubungan dan generalisasi ini akan memberikan gambaran pola, yang penting untuk memahami persoalan. Pola semacam ini tidaklah menjadi jelas selama pengumpulan data dilakukan tanpa arah. Hipotesis yang telah terencana dengan baik akan memberikan arah dan mengemukakan penjelasan. Karena hipotesis tersebut dapat diuji dan divalidasi (pengujian kesahiannya) melalui penyelidikan ilmiah, maka hipotesis dapat mebantu kita untuk memperluas pengetahuan.

b.    Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat diuji dalam penelitian.

Pertanyaan tidak dapat diuji secara langsung. Penelitian memang dimulai dengan suatu pertanyaan, akan tetapi hanya hubungan antara variabel yang akan dapat duji. Misalnya, peneliti tidak akan menguji pertanyaan apakah komentar guru terhadap pekerjaan murid menyebabkan peningkatan hasil belajar murid secara nyata“? akan tetapi peneliti menguji hipotesis yang tersirat dalam pertanyaan tersebut “komentar guru terhadap hasil pekerjaan murid, menyebabkan meningkatnya hasil belajar murid secara nyata“ atau  yang lebih spesifik lagi “skor hasil belajar siswa yang menerima komentar guru atas pekerjaan mereka sebelumnya akan lebih tinggi dari pada skor siswa yang tidak menerima komentar guru atas pekerjaan mereka sebelumnya“. Selanjutnya peneliti, dapat melanjutkan penelitiannya dengan meneliti hubngan antara kedua vatiabel tersebut, yaitu komentar guru dan prestasi siswa.

c.    Hipotesis memberikan arah kepada penelitian

Hipotesis merupakan tujuan khusus. Dengan demikian hipotesis juga menentukan sifat-sifat data yang diperlukan untuk menguji pernyataan tersebut. Secara sangat sederhana, hipotesis menunjukkan kepada para peneliti apa yang harus dilakukan. Fakta yang harus dipilih dan diamati adalah fakta yang adahubungann nya dengan pertanyaan tertentu. Hipotesislah yang mentukan relevansi fakta-fakta itu. Hipotesis ini dapat memberikan dasar dalam pemilihan sampel serta prosedur penelitian yang harus dipakai. Hipotesis jufga dapat menunjukkan analisis satatistik yang diperlukan dan hubungannya yang harus menunjukkan analisis statistik yang diperlukan agar ruang lingkup studi tersebut tetap terbatas, dengan mencegahnya menjadi terlalu sarat.

Sebagi contoh, lihatlah kembali hipotesis tentang, latihan pra sekolah bagi anak-anak kelas satu yang mengalami hambatan kultural. Hipotesi ini menunjukkan metode penelitian yang diperlukan serta sampel yang harus digunakan. Hipotesis inipun bahkan menuntun peneliti kepada tes statistik yang mungkin diperlukan untuk menganalisis data. Dari pernyataan hipotesis itu, jelas bahwa peneliti harus melakukan eksperimen yang membandingkan hasil eblajr dikelas satu dari sampel siswa yang mengalami hambatan kultural dan telah mengalami program pra sekolah dengan sekelompok anak serupa yang tidak mengalami progaram pra sekolah. Setiap perbedaan hasil belajar rata-rat kedua kelompok tersebut dapat dianalaisis denga tes atai teknik analis variansi, agar dapat diketahui signifikansinya menurut statistik.

d.    Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan penyelidikan.

Akan sangat memudahkan peneliti jika mengambil setiap hipotesis secara terpisah dan menyatakan kesimpulan yang relevan dengan hipotesis tersebut. Artinya, peneliti dapat menyusun bagian laporan tertulis ini diseputar jawaban-jawaban terhadap hipotesis semula, sehingga membuat penyajian ini lebih berarti dan mudah dibaca.

      3. Ciri-Ciri Hipotesis yang Baik

Sebuah hipotesis atau dugaan sementara yang baik hendaknya mengandung beberapa hal.

Hal – hal tersebut diantaranya :
1) Hipotesis harus mempunyai daya penjelas
2) Hipotesis harus menyatakan hubungan yang diharapkan ada di antara variabel-variabel-variabel.
3) Hipotesis harus dapat diuji
4) Hipotesis hendaknya konsistesis dengan pengetahuan yang sudah ada.
5) Hipotesis hendaknya dinyatakan sesederhana dan seringkas mungkin.

langkah-langkah pengujian hipotetsis adalah sebagai berikut :

1. Nyatakan hipotetsis nolnya H₀ bahwa q = q_o ,
2. Pilih hipotetsis alternative atau lawan hipotesis awal H₁ yang sesuai q ¹ q_o, q > q₀ ,q < q_o
3. Tentukan taraf signifikan a.
4. Pilih statistic uji yang digunakan apakah z, t, c² , F atau lainnya.
5. Tentukan wilayah ktitisnya atau daerah penolakan Ho
6. Perhitungan nilai statistic uji berdasarkan sample.
7. Kesimpulan, yaitu Keputusan antara tolak H₀ atau terima Ho.

Uji beda mean terdiri dari 

1.  uji beda mean satu sampel

2.  Uji beda mean dua sampel

    - dua mean independen 

    - dua mean dependen 

 Bila σ (tho) tidak diketahui → “Uji t” rumus”: X - µ t = Sd / √n§ Bila σ (tho) diketahui → “Uji Z” rumus: X - µ Z = σ / √n 

 UJI BEDA MEAN SATU SAMPEL Uji untuk mengetahui perbedaan mean populasi dengan mean data sampel penelitian Jenis uji beda satu mean 

    

UJI HIPOTESIS BEDA DUA MEAN SAMPEL INDEPENDEN BERUKURAN BESAR (n1≥30&standar dari distribusi sampling harga beda dua mean (standar error), dinyatakan dengan: σ1 2 σ2 2 σ X1-X2 = ------- + ------- n1 n2 - Jika standar populasi tidak diketahui 

a. Standar kedua populasi diasumsikan tidak sama S 1 2 S2 2 Sx1-x2 = ------ + ------ n1 n2

 b. Standar kedua populasi diasumsikan samaàn2≥30) 

tugas statistika bab 8 tugas10-12

Analisis Variansi

bab 8 

Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan mean beberapa
populasi.
Konsep analisis variansi didasarkan pada konsep distribusi F dan biasanya dapat
diaplikasikan untuk berbagai macam kasus maupun dalam analisis hubungan
antara berbagai varabel yang diamati. Dalam perhitungan statistik, analisis
variansi sangat dipengaruhi asumsi-asumsi yang digunakan seperti kenormalan
dari distribusi, homogenitas variansi dan kebebasan dari kesalahan.
Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data
setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas variansi menjelaskan bahwa
variansi dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi
bebas menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya pada
setiap kelompok bersifat saling bebas.


Hipotesis ANOVA satu arah
· H0 : μ1= μ 2 = μ 3 = … = μ k
o Seluruh mean populasi adalah sama
o Tidak ada efek treatment ( tidak ada keragaman mean dalam grup )
·  H1 : tidak seluruhnya mean populasi adalah sama
o Terdapat sebuah efek treatment
o Tidak seluruhmean populasi berbeda ( beberapa pasang mungkin sama )

Partisi Variansi
 Variansi total dapat dibagi menjadi 2 bagian :
    SST          = SSG + SSW
    SST          = Total sum of squares (jumlah kuadrat total ) yaitu penyebaran agregat
                        nilai data individu melalui beberapa level vaktor .
    SSG/SSB   = Sum of squares between-grup ( jumlah kuadrat antara ) yaitu
                        penyebaran diantara mean sampel factor .
    SSW/SSE  = Sum of squares within-grup ( jumlah kuadrat dalam ) yaitu
                        penyebaran yang terdapat diantara nilai data dalam sebuah
                        level factor tertentu .

Rumus jumlah kuadarat total ( total sum of squares )



Dimana
SST = total sum of squares ( jumlah kadarat total )
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )
Variansi total


Rumus untuk mencari variasi jumlah kuadrat dalam


Keterangan :
SSW/SSE = jumlah kuadrat dalam.
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus untuk mencari varisi diantara grup


Keterangan :
SSB/SSG = jumlah kuadrat diantara
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )
Rumus variasi dalam kelompok


MSW = Rata-rata variasi dalam kelompok
SSW = jumlah kuadrat dalam
N-K = derajat bebas dari SSW
rumus variasi diantara kelompok



MSW/SSW = Rata-rata variasi diantara kelompok
SSG = jumlah kuadrat antara
k-1 = derajat bebas SSG

Analisis Varians Dua Arah dengan Interaksi

           Pengujian anova dua arah dengan interaksi merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata – rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dengan adanya interaksi antara kedua faktor .

Langkah – langkah pengujian analisis varians dua arah dengan interaksi

1.      Menentukan formulasi hipotesis

a.       H0 : α1 = α2 = α3 = ..... = αb =  0

H1 : sekurang – kurangnya satu αi tidak sama dengan nol

b.      H0 : β1 = β2 = β3 = ...... = βk = 0

H1 = sekurang – kurangnya satu βj tidak sama dengan nol

c.       H0 : (αβ )11 = (αβ)12 = (αβ)13 = ..... = (αβ)bk = 0

H1 : sekurang – kurangnya satu (αβ)ij ≠ 0

2.      Taraf nyata ( α ) dan F tabel ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing – masing ;

a.       untuk baris : v1 = b – 1 dan v2 = kb (n-1),

b.      untuk kolom : v1 =  k – 1 dan  v2 = kb (n-1),

c.       untuk interaksi : v1 = ( k -1 )( b-1) dan v2 = kb ( n – 1 ).

3.      Menentukan kriteria pengujian

a.       Untuk baris :

           H0 diterima apabila F0 ≤ F α(v1;v2)

           H0 ditolak apabila F0 > F α(v1;v2)

b.      Untuk kolom :

            H0 diterima apabila F0 ≤ F α(v1;v2)

         H0 ditolak apabila F0 > F α(v1;v2)

a.       Untuk interaksi :

     H0 diterima apabila F0 ≤ F α(v1;v2)

        H0 ditolak apabila F0 > F α(v1;v2)

4.      Membuat analisis varians dalam bentuk ANOVA

Sumber varians	Jumlah Kuadrat	Derajat kebebasan	Rata – Rata kuadrat	F0
Rata – rata baris Rata – Rata Kolom Interaksi Error	JKB JKK JKI JKE	b - 1 bk( n – 1 )		f1=  f2 =  f3 =
TOTAL	JKT

         b = baris, k = kolom, n = ulangan percobaan                 

5.           Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H0 diterima atau ditolak, dengan membandingkan antara langkah ke -4 dengan kriteria pengujian pada langkah ke – 3.

langkah-langkah melakukan uji hipotesis dengan ANOVa

1. Kumpulkan sampel dan kelompokkan berdasarkan kategori tertentu.

   Untuk memudahkan pengelompokkan dan perhitungan, buat tabel data sesuai dengan kategori berisi sampel dan kuadrat dari sampel tersebut. Hitung pula total dari sampel dan kuadrat sampel tiap kelompok. Selain itu, tentukan pula hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).

2. Menentukan tipe anova

   Untuk menentukan tipe anova. terlebih dahulu bertanya apakah dari hipotesis tersebut cocok untuk anova? jika tujuannya membandingkan rata-rata tiga kelompok atau lebih maka boleh pakai Anova. Pertanyaan keduaapakah sampel tiap kelompok diambil dari sampel yang berbeda? jika berasal dari sampel yang berbeda maka menggunakan Anova satu arah/one way.

3. Memeriksa apakah sudah memenuhi asumsi-asumsi sehingga bisa digunakan anova

   • Normalitas,

     adalah Menguji apakah data tiap kelompok memiliki distribusi normal. hal ini bisa dilakukan dengan uji kolmogorov smirnov, shapira wilk.

   • Homogenitas

     adalah Menguji apakah varians tiap kelompok sama. Dalam menghitung homogenitas bisa digunakan uji bartlett dan uji levene.

   • Saling bebas

     Menunjukkan bahwa setiap kelompok tidak saling berhubungan. Biasanya yang digunakan logika apakah saling bebas atau tidak.

   • Aditif (Saling menjumlahkan).

     Artinya data yang dianalisis merupakan data interval/rasio

4. Menghitung variabilitas dari seluruh sampel.

   
   Pengukuran total variabilitas atas data dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, berikut rumus dalam Anova:

   • Total of sum squares (SSt) – jumlah kuadrat total (jkt).

     Merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya.
     
     
     Keterangan: k = banyaknya kolom N = Banyaknya pengamatan/ keseluruhan data
     ni = banyaknya ulangan di kolom ke-i xij = data pada kolom ke-i ulangan ke-j T** = Total (jumlah) seluruh pengamatan 

   • Sum Square Between(SSb) – jumlah kuadrat kolom (jkk).

     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     

     Keterangan
     T*i = Total (jumlah) ulangan pada kolom ke-i

   • Sum Square within(SSw) – jumlah kuadrat galat (jkg).

     Variansi yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok, dan variansi di sini tidak terpengaruh / tergantung oleh perbedaan perlakuan antar kelompok. 
     JKG = JKT - JKK

5. Menghitung derajat kebebasan (degree of freedom).

   
   Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau db) dalam ANOVA akan sebanyak variabilitas. Oleh karena itu, ada tiga macam derajat kebebasan yang akan kita hitung: 

   • Derajat kebebasan untuk JKT

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat total (JKT) ini akan kita lambangkan dengan dof JKT.
     db JKT = N - 1

   • Derajat kebebasan untuk JKK

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat kolom (JKK) ini akan kita lambangkan dengan dof JKK.
     db JKK = k-1

   • Derajat kebebasan untuk JKG

     Merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat galat (JKG) ini akan kita lambangkan dengan dof JKG
     db JKG = N - k
     
     Derajat kebebasan juga memiliki sifat hubungan yang sama dengan sifat hubungan variabel, yakni:
     
     
     db JKT = db JKK + db JKG

6. Menghitung variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.

   
   Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut dengan kuadrat tengah atau deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS atau KT. Dengan demikian, maka mean squared deviation masing-masing dapat dicari dengan rumus sebagai berikut: 
   • KTK = JKK / db JKK
   • KTG = JKG / db JKG

7. Menghitung F hitung

   
   Menghitung nilai distribusi F (Fhitung) berdasarkan perbandingan variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.Fhitung didapatkan dengan rumus di bawah ini:
   Fhitung = KTK/KTG

8. Menghitung F tabel

   
   Selain itu, F berdasarkan tabel (Ftabel) juga dihitung, berdasarkan nilai derajat kebebasan (langkah ke-4) menggunakan tabel distribusi-F. Jangan lupa untuk mencantumkan gambar posisi Fhitung dan Ftabel dalam grafik distribusi-F.

9. Membandingkan Fhitung dengan Ftabel :

   • Jika Fhitung > Ftabel : tolak H0
   • Jika Fhitung ≤ Ftabel : terima H0

10. Buat kesimpulan,

    sesuai dengan kasus awal yang ditanyakan. Simpulkan, apakah perlakuan (treatment) memiliki efek yang signifikan pada sampel data atau tidak. Jika hasil tidak signifikan, berarti seluruh rata-rata sampel adalah sama. Jika perlakuan menghasilkan efek yang signifikan, setidaknya satu dari rata-rata sampel berbeda dari rata-rata sampel yang lain.

tugas statistika bab 9 tugas 13-15

Analisis Regresi dan korelasi

bab 9

         Analisis regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan untuk mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis regresi, variabel yang mempengaruhi disebut Independent Variable (variabel bebas) dan variabel yang dipengaruhi disebut Dependent Variable (variabel terikat). Jika dalam persamaan regresi hanya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel terikat, maka disebut sebagai persamaan regresi sederhana, sedangkan jika variabel bebasnya lebih dari satu, maka disebut sebagai persamaan regresi berganda.

                  Analisis Korelasi merupakan suatu analisis untuk mengetahui tingkat keeratan hubungan antara dua variabel. Tingkat hubungan tersebut dapat dibagi menjadi tiga kriteria, yaitu mempunyai hubungan positif, mempunyai hubungan negatif dan tidak mempunyai hubungan.
Analisis Regresi Sederhana : digunakan untuk mengetahui pengaruh dari variabel bebas terhadap variabel terikat atau dengan kata lain untuk mengetahui seberapa jauh perubahan variabel bebas dalam mempengaruhi variabel terikat. Dalam analisis regresi sederhana, pengaruh satu variabel bebas terhadap variabel terikat dapat dibuat persamaan sebagai berikut : Y = a + b X. Keterangan : Y : Variabel terikat (Dependent Variable); X : Variabel bebas (Independent Variable); a : Konstanta; dan b : Koefisien Regresi. Untuk mencari persamaan garis regresi dapat digunakan berbagai pendekatan (rumus), sehingga nilai konstanta (a) dan nilai koefisien regresi (b) dapat dicari dengan metode sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2] atau a = (ΣY/N) – b (ΣX/N)
b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]

Contoh :
Berdasarkan hasil pengambilan sampel secara acak tentang pengaruh lamanya belajar (X) terhadap nilai ujian (Y) adalah sebagai berikut :

(nilai ujian)	X (lama belajar)	X 2	XY
40	4	16	160
60	6	36	360
50	7	49	350
70	10	100	700
90	13	169	1.170
ΣY = 310	ΣX = 40	ΣX2 = 370	ΣXY = 2.740

Dengan menggunakan rumus di atas, nilai a dan b akan diperoleh sebagai berikut :
a = [(ΣY . ΣX2) – (ΣX . ΣXY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
a = [(310 . 370) – (40 . 2.740)] / [(5 . 370) – 402] = 20,4

b = [N(ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / [(N . ΣX2) – (ΣX)2]
b = [(5 . 2.740) – (40 . 310] / [(5 . 370) – 402] = 5,4

Sehingga persamaan regresi sederhana adalah Y = 20,4 + 5,2 X
Berdasarkan hasil penghitungan dan persamaan regresi sederhana tersebut di atas, maka dapat diketahui bahwa :

 1) Lamanya belajar mempunyai pengaruh positif (koefisien regresi (b) = 5,2) terhadap nilai ujian, artinya jika semakin lama dalam belajar maka akan semakin baik atau tinggi nilai ujiannya; 2) Nilai konstanta adalah sebesar 20,4, artinya jika tidak belajar atau lama belajar sama dengan nol, maka nilai ujian adalah sebesar 20,4 dengan asumsi variabel-variabel lain yang dapat mempengaruhi dianggap tetap.
Analisis Korelasi (r) : digunakan untuk mengukur tinggi redahnya derajat hubungan antar variabel yang diteliti. Tinggi rendahnya derajat keeratan tersebut dapat dilihat dari koefisien korelasinya. Koefisien korelasi yang mendekati angka + 1 berarti terjadi hubungan positif yang erat, bila mendekati angka – 1 berarti terjadi hubungan negatif yang erat. Sedangkan koefisien korelasi mendekati angka 0 (nol) berarti hubungan kedua variabel adalah lemah atau tidak erat. Dengan demikian nilai koefisien korelasi adalah – 1 ≤ r ≤ + 1. Untuk koefisien korelasi sama dengan – 1 atau + 1 berarti hubungan kedua variabel adalah sangat erat atau sangat sempurna dan hal ini sangat jarang terjadi dalam data riil. Untuk mencari nilai koefisen korelasi (r) dapat digunakan rumus sebagai berikut : r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}

Contoh :
Sampel yang diambil secara acak dari 5 mahasiswa, didapat data nilai Statistik dan Matematika sebagai berikut :

Sampel	X (statistik)	Y (matematika)	XY	X2	Y2
1	2	3	6	4	9
2	5	4	20	25	16
3	3	4	12	9	16
4	7	8	56	49	64
5	8	9	72	64	81
Jumlah	25	28	166	151	186

r = [(N . ΣXY) – (ΣX . ΣY)] / √{[(N . ΣX2) – (ΣX)2] . [(N . ΣY2) – (ΣY)2]}
r = [(5 . 166) – (25 . 28) / √{[(5 . 151) – (25)2] . [(5 . 186) – (28)2]} = 0,94

Nilai koefisien korelasi sebesar 0,94 atau 94 % menggambarkan bahwa antara nilai statistik dan matematika mempunyai hubungan positif dan hubungannya erat, yaitu jika mahasiswa mempunyai nilai statistiknya baik maka nilai matematikanya juga akan baik dan sebaliknya jika nilai statistik jelek maka nilai matematikanya juga jelek.

santoso.blogspot.com/2008/08/analisis-regresi-dan-korelasi-materi.html

tugas statistika bab 5 tugas 6

 STATISTIKA BAB V. 

Moment, Kemiringan dan Kurtosis

Skewness and Kurtosis

Rata-rata dan ukuran penyebaran dapat menggambarkan distribusi data tetapi tidak cukup untuk menggambarkan sifat distribusi. Untuk dapat menggambarkan karakteristik dari suatu distribusi data, kita menggunakan konsep-konsep lain yang dikenal sebagai kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis).

Skewness

Kemiringan (skewness) berarti ketidaksimetrisan. Sebuah distribusi dikatakan simetris apabila nilai-nilainya tersebar merata disekitar nilai rata-ratanya. Sebagai contoh, distribusi data berikut simetris terhadap nilai rata-ratanya, 3.

x	1	2	3	4	5
frek (f)	5	9	12	9	5

Pada contoh gambar berikut, distribusi data tidak simetris. Gambar pertama miring (menjulur) ke arah kiri dan gambar ke-2 miring ke arah kanan.

Pada distribusi data yang simetris, mean, median dan modus bernilai sama.

Beberapa langkah-langkah perhitungan digunakan untuk menyatakan arah dan tingkat kemiringan dari sebaran data. Langkah-langkah tersebut diperkenalkan oleh Pearson.

Koefisien kemiringan(Coefficient of Skewness):

Interpretasi: Untuk distribusi data yang simetris, Sk = 0. Apabila distribusi data menjulur ke kiri (negatively skewed), Sk bernilai negatif, dan apabila menjulur ke kanan(positively skewed), SK bernilai positif. Kisaran untuk SK antara -3 dan 3.

Ukuran kemiringan yang lain adalah koefisien β₁ (baca 'beta-satu'):

dimana:

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai b₁ = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai b₁ apakah bernilai positif atau negatif.

Ukuran Skewness yang sering digunakan:

Skewness Populasi:

Skewness Sampel:

Source: D. N. Joanes and C. A. Gill. "Comparing Measures of Sample Skewness and Kurtosis". The Statistician 47(1):183–189.

atau formula berikut (MS Excel):

s = standar deviasi

NB: kedua formula di atas menghasilkan nilai skewness yang sama

Interpretasi:

Distribusi dikatakan simetris apabila nilai g₁ = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai g₁ apakah bernilai positif atau negatif.

Menurut Bulmer, M. G., Principles of Statistics (Dover, 1979):

• highly skewed: jika skewness kurang dari −1 atau lebih dari +1
• moderately skewed: jika skewness antara −1 dan −½ atau antara +½ dan +1.
• approximately symmetric: jika skewness is berada di antara −½ dan +½.

Kurtosis

Kurtosis merupakan ukuran untuk mengukur keruncingan distribusi data.

Distribusi pada gambar di atas semuanya simetris terhadap nilai rata-ratanya. Namun bentuk ketiganya tidak sama. Kurva berwarna biru dikenal sebagai mesokurtik (kurva normal), kurva berwarna merah dikenal sebagai leptokurtik (kurva runcing) dan kurva berwarna hijau dikenal sebagai platikurtik (kurva datar).

Kurtosis dihitung dengan menggunakan koefisien Pearson, β₂ (baca 'beta - dua').

dimana:

Ukuran Kurtosis yang sering digunakan:

Kurtosis Populasi:

Kurtosis:

Excess Kurtosis: 

Kurtosis Sampel:

atau formula berikut (MS Excel):

s = standar deviasi

NB: Excel menggunakan nilai Excess Kurtosis. Hasil perhitungan dari kedua formula di atas, menghasilkan nilai yang sama

Interpretasi:

Distribusi dikatakan:

• Mesokurtik (Normal) jika b₂ = 3
• Leptokurtik jika b₂ > 3
• platikurtik jika b₂ < 3

Analisis Korelasi Product Moment dalam Statistika

Analisis korelasi merupakan salah satu teknik statistik yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua variabel atau lebih yang bersifat kuantitatif. Salah satu dari analisis korelasi tersebut adalah analisis korelasi product moment (Pearson). Variabel yang digunakan disini terbagi dua yaitu variabel bebas (x) dengan variabel terikat (y), dengan ketentuan data memiliki syarat-syarat tertentu.

Korelasi Pearson Product Moment (r) dapat diformulasikan sbb:



dengan ketentuan −1 ≤ r ≤ r . Dan interpretasi koefisien korelasi nilai r ini dapat dirangkum dalam tabel berikut:



Langkah-langkah yang diperlukan untuk uji korelasi Pearson Product Moment adalah sebagai berikut :

1. Rumuskan hipotesis Ha dan Ho dalam bentuk kalimat.
2. Rumuskan hipotesis Ha dan Ho dalam bentuk statistik.
3. Buat tabel pembantu.
4. Tentukan r
5. Tentukan nilai KP
6. Lakukan uji signifikansi.
7. Tentukan α , dengan derajat bebas db = n − 2 .
8. Tentukan konklusi

 

 

SUMBER :
http://rezkysy.blogspot.com/2012/10/analisis-korelasi-product-moment-dalam.html 

http://www.smartstat.info/statistika/statisika-deskriptif/ukuran-penyebaran-measures-of-dispersion.html