tugas statistika bab 8 tugas10-12

Analisis Variansi

bab 8 

Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan mean beberapa
populasi.
Konsep analisis variansi didasarkan pada konsep distribusi F dan biasanya dapat
diaplikasikan untuk berbagai macam kasus maupun dalam analisis hubungan
antara berbagai varabel yang diamati. Dalam perhitungan statistik, analisis
variansi sangat dipengaruhi asumsi-asumsi yang digunakan seperti kenormalan
dari distribusi, homogenitas variansi dan kebebasan dari kesalahan.
Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data
setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas variansi menjelaskan bahwa
variansi dalam masing-masing kelompok dianggap sama. Sedangkan asumsi
bebas menjelaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya pada
setiap kelompok bersifat saling bebas.


Hipotesis ANOVA satu arah
· H0 : μ1= μ 2 = μ 3 = … = μ k
o Seluruh mean populasi adalah sama
o Tidak ada efek treatment ( tidak ada keragaman mean dalam grup )
·  H1 : tidak seluruhnya mean populasi adalah sama
o Terdapat sebuah efek treatment
o Tidak seluruhmean populasi berbeda ( beberapa pasang mungkin sama )

Partisi Variansi
 Variansi total dapat dibagi menjadi 2 bagian :
    SST          = SSG + SSW
    SST          = Total sum of squares (jumlah kuadrat total ) yaitu penyebaran agregat
                        nilai data individu melalui beberapa level vaktor .
    SSG/SSB   = Sum of squares between-grup ( jumlah kuadrat antara ) yaitu
                        penyebaran diantara mean sampel factor .
    SSW/SSE  = Sum of squares within-grup ( jumlah kuadrat dalam ) yaitu
                        penyebaran yang terdapat diantara nilai data dalam sebuah
                        level factor tertentu .

Rumus jumlah kuadarat total ( total sum of squares )



Dimana
SST = total sum of squares ( jumlah kadarat total )
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )
Variansi total


Rumus untuk mencari variasi jumlah kuadrat dalam


Keterangan :
SSW/SSE = jumlah kuadrat dalam.
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )

Rumus untuk mencari varisi diantara grup


Keterangan :
SSB/SSG = jumlah kuadrat diantara
k = levels of treatment ( jumlah populasi )
ni = ukuran sampel dari poplasi i
x ij = pengukuran ke-j dari populsi ke-i
x = mean keseluruha ( dari seluruh nilai data )
Rumus variasi dalam kelompok


MSW = Rata-rata variasi dalam kelompok
SSW = jumlah kuadrat dalam
N-K = derajat bebas dari SSW
rumus variasi diantara kelompok



MSW/SSW = Rata-rata variasi diantara kelompok
SSG = jumlah kuadrat antara
k-1 = derajat bebas SSG

Analisis Varians Dua Arah dengan Interaksi

           Pengujian anova dua arah dengan interaksi merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata – rata atau lebih dengan dua faktor yang berpengaruh dengan adanya interaksi antara kedua faktor .

Langkah – langkah pengujian analisis varians dua arah dengan interaksi

1.      Menentukan formulasi hipotesis

a.       H0 : α1 = α2 = α3 = ..... = αb =  0

H1 : sekurang – kurangnya satu αi tidak sama dengan nol

b.      H0 : β1 = β2 = β3 = ...... = βk = 0

H1 = sekurang – kurangnya satu βj tidak sama dengan nol

c.       H0 : (αβ )11 = (αβ)12 = (αβ)13 = ..... = (αβ)bk = 0

H1 : sekurang – kurangnya satu (αβ)ij ≠ 0

2.      Taraf nyata ( α ) dan F tabel ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing – masing ;

a.       untuk baris : v1 = b – 1 dan v2 = kb (n-1),

b.      untuk kolom : v1 =  k – 1 dan  v2 = kb (n-1),

c.       untuk interaksi : v1 = ( k -1 )( b-1) dan v2 = kb ( n – 1 ).

3.      Menentukan kriteria pengujian

a.       Untuk baris :

           H0 diterima apabila F0 ≤ F α(v1;v2)

           H0 ditolak apabila F0 > F α(v1;v2)

b.      Untuk kolom :

            H0 diterima apabila F0 ≤ F α(v1;v2)

         H0 ditolak apabila F0 > F α(v1;v2)

a.       Untuk interaksi :

     H0 diterima apabila F0 ≤ F α(v1;v2)

        H0 ditolak apabila F0 > F α(v1;v2)

4.      Membuat analisis varians dalam bentuk ANOVA

Sumber varians	Jumlah Kuadrat	Derajat kebebasan	Rata – Rata kuadrat	F0
Rata – rata baris Rata – Rata Kolom Interaksi Error	JKB JKK JKI JKE	b - 1 bk( n – 1 )		f1=  f2 =  f3 =
TOTAL	JKT

         b = baris, k = kolom, n = ulangan percobaan                 

5.           Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H0 diterima atau ditolak, dengan membandingkan antara langkah ke -4 dengan kriteria pengujian pada langkah ke – 3.

langkah-langkah melakukan uji hipotesis dengan ANOVa

1. Kumpulkan sampel dan kelompokkan berdasarkan kategori tertentu.

   Untuk memudahkan pengelompokkan dan perhitungan, buat tabel data sesuai dengan kategori berisi sampel dan kuadrat dari sampel tersebut. Hitung pula total dari sampel dan kuadrat sampel tiap kelompok. Selain itu, tentukan pula hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif (H1).

2. Menentukan tipe anova

   Untuk menentukan tipe anova. terlebih dahulu bertanya apakah dari hipotesis tersebut cocok untuk anova? jika tujuannya membandingkan rata-rata tiga kelompok atau lebih maka boleh pakai Anova. Pertanyaan keduaapakah sampel tiap kelompok diambil dari sampel yang berbeda? jika berasal dari sampel yang berbeda maka menggunakan Anova satu arah/one way.

3. Memeriksa apakah sudah memenuhi asumsi-asumsi sehingga bisa digunakan anova

   • Normalitas,

     adalah Menguji apakah data tiap kelompok memiliki distribusi normal. hal ini bisa dilakukan dengan uji kolmogorov smirnov, shapira wilk.

   • Homogenitas

     adalah Menguji apakah varians tiap kelompok sama. Dalam menghitung homogenitas bisa digunakan uji bartlett dan uji levene.

   • Saling bebas

     Menunjukkan bahwa setiap kelompok tidak saling berhubungan. Biasanya yang digunakan logika apakah saling bebas atau tidak.

   • Aditif (Saling menjumlahkan).

     Artinya data yang dianalisis merupakan data interval/rasio

4. Menghitung variabilitas dari seluruh sampel.

   
   Pengukuran total variabilitas atas data dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian, berikut rumus dalam Anova:

   • Total of sum squares (SSt) – jumlah kuadrat total (jkt).

     Merupakan jumlah kuadrat selisih antara skor individual dengan rata-rata totalnya.
     
     
     Keterangan: k = banyaknya kolom N = Banyaknya pengamatan/ keseluruhan data
     ni = banyaknya ulangan di kolom ke-i xij = data pada kolom ke-i ulangan ke-j T** = Total (jumlah) seluruh pengamatan 

   • Sum Square Between(SSb) – jumlah kuadrat kolom (jkk).

     Variansi rata-rata kelompok sampel terhadap rata-rata keseluruhannya. Variansi di sini lebih terpengaruh karena adanya perbedaan perlakuan antar kelompok.
     
     

     Keterangan
     T*i = Total (jumlah) ulangan pada kolom ke-i

   • Sum Square within(SSw) – jumlah kuadrat galat (jkg).

     Variansi yang ada dalam masing-masing kelompok. Banyaknya variansi akan tergantung pada banyaknya kelompok, dan variansi di sini tidak terpengaruh / tergantung oleh perbedaan perlakuan antar kelompok. 
     JKG = JKT - JKK

5. Menghitung derajat kebebasan (degree of freedom).

   
   Derajat kebebasan atau degree of freedom (dilambangkan dengan v, dof, atau db) dalam ANOVA akan sebanyak variabilitas. Oleh karena itu, ada tiga macam derajat kebebasan yang akan kita hitung: 

   • Derajat kebebasan untuk JKT

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat total (JKT) ini akan kita lambangkan dengan dof JKT.
     db JKT = N - 1

   • Derajat kebebasan untuk JKK

     merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat kolom (JKK) ini akan kita lambangkan dengan dof JKK.
     db JKK = k-1

   • Derajat kebebasan untuk JKG

     Merupakan derajat kebebasan dari Jumlah kuadrat galat (JKG) ini akan kita lambangkan dengan dof JKG
     db JKG = N - k
     
     Derajat kebebasan juga memiliki sifat hubungan yang sama dengan sifat hubungan variabel, yakni:
     
     
     db JKT = db JKK + db JKG

6. Menghitung variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.

   
   Variance dalam ANOVA, baik untuk antar kelompok maupun dalam kelompok sering disebut dengan kuadrat tengah atau deviasi rata-rata kuadrat (mean squared deviation) dan dilambangkan dengan MS atau KT. Dengan demikian, maka mean squared deviation masing-masing dapat dicari dengan rumus sebagai berikut: 
   • KTK = JKK / db JKK
   • KTG = JKG / db JKG

7. Menghitung F hitung

   
   Menghitung nilai distribusi F (Fhitung) berdasarkan perbandingan variance antar kelompok dan variance dalam kelompok.Fhitung didapatkan dengan rumus di bawah ini:
   Fhitung = KTK/KTG

8. Menghitung F tabel

   
   Selain itu, F berdasarkan tabel (Ftabel) juga dihitung, berdasarkan nilai derajat kebebasan (langkah ke-4) menggunakan tabel distribusi-F. Jangan lupa untuk mencantumkan gambar posisi Fhitung dan Ftabel dalam grafik distribusi-F.

9. Membandingkan Fhitung dengan Ftabel :

   • Jika Fhitung > Ftabel : tolak H0
   • Jika Fhitung ≤ Ftabel : terima H0

10. Buat kesimpulan,

    sesuai dengan kasus awal yang ditanyakan. Simpulkan, apakah perlakuan (treatment) memiliki efek yang signifikan pada sampel data atau tidak. Jika hasil tidak signifikan, berarti seluruh rata-rata sampel adalah sama. Jika perlakuan menghasilkan efek yang signifikan, setidaknya satu dari rata-rata sampel berbeda dari rata-rata sampel yang lain.