tugas statistika bab 6 tugas ke 7

 STATISTIKA

BAB VI

 DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI T, dan DISTRIBUSI F

DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang statistika.

Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut:

dimana
π = 3,1416
e = 2,7183
µ = rata-rata
σ = simpangan baku
Persamaan di atas bila dihitung dan diplot pada grafik akan terlihat seperti pada Gambar 1 berikut:

  

Gambar 1. kurva distribusi normal umum

Sifat-sifat penting distribusi normal adalah sebagai berikut:

1. Grafiknya selalu berada di atas sumbu x

2. Bentuknya simetris pada x = µ

3. Mempunyai satu buah modus, yaitu pada x = µ

4. Luas grafiknya sama dengan satu unit persegi, dengan rincian

a. Kira-kira 68% luasnya berada di antara daerah µ – σ dan µ + σ

b. Kira-kira 95% luasnya berada di antara daerah µ – 2σ dan µ + 2σ

c. Kira-kira 99% luasnya berada di antara daerah µ – 3σ dan µ + 3σ

Membuat kurva normal umum bukanlah suatu pekerjaan yang mudah.  Lihat saja rumus untuk mencari fungsi densitasnya (nilai pada sumbu Y) begitu rumit.  Oleh karena itu, orang tidak banyak menggunakannya.

Orang lebih banyak menggunakan DISTIBUSI NORMAL BAKU.  Kurva distribusi normal baku diperoleh dari distribusi normal umum dengan cara transformasi nilai x menjadi nilai z, dengan formula sbb:

Kurva distribusi normal baku disajikan pada Gambar 2 berikut ini.

Gambar 2.  Kurva distribusi normal baku

Kurva distribusi normal baku lebih sederhana dibanding kurva normal umum.  Pada kurva distribusi normal baku, nilai µ = 0 dan nilai σ=1, sehingga terlihat lebih menyenangkan.  Namun, sifat-sifatnya persis sama dengan sifat-sifat distribusi normal umum.

Untuk keperluan praktis, para ahli statistika telah menyusun Tabel distribusi normal baku dan tabel tersebut dapat ditemukan hampir di semua buku teks Statistika.  Tabel distribusi normal bakui disebut juga dengan Tabel Z dan dapat digunakan untuk mencari peluang di bawah kurva normal secara umum, asal saja nilai µ dan σ diketahui. Sebagai catatan nilai µ dan σ dapat diganti masing-masing dengan nilai  dan S.

 Distribusi t

Distribusi t merupakan salah satu pengembangan dari Distribusi z. Secara prinsip penggunaan Distribusi t digunakan untuk membandingkan rata-rata dari dua sampel. Rata-rata dua sampel tersebut dibandingkan untuk mengetahui apakah dua data tersebut mempunyai beda. Distribusi biasanya digunakan untuk data yang banyak sampelnya kurang dari sama dengan 30.

t di definisikan sebagai berikut:

Dari definisi nilai t di atas, ada beberapa nilai yang perlu kita ketahui:

sehingga inputan data di atas sebaiknya anda tahu.

Contoh ada nilai siswa sebagai berikut:

Nilai
66
40
75
64
65
71
66
81
65
50

Apakah nilai data tersebut rata-ratanya sama dengan data yang lain yang rata-ratanya 60?
Dari data di atas diperoleh nilai sebagai berikut:

Misalkan taraf signifikansinya 0.05, nilai derajat kebebasan data tersebut dk = 10 - 1 = 9. Dari tabel distribusi t didapatkan :

Sedangkan nilai t hitung bisa diperoleh dari :

Dari nilai tersebut diperoleh

Kesimpulannya data diatas tidak berbeda signifikan dengan data yang rata-rata populasinya 60.

Distribusi F (ANOVA)

            ANOVA kepanjangan dari Analysis of Variance. Distribusi yang ditemukan oleh seorang ahli statistika bernama R.A Fisher pada tahun 1920. Distribusi F (ANOVA) adalah prosedur statistika untuk menghitung apakah rata-rata hitung drai 3 populasi atau lebih sama atau tidak. Distribusi ini digunakan untuk menguji rata-rata dari tiga atau lebih populasi sekaligus untuk menentukan apakah rata-rata itu sama atau tidak.
            Distribusi F (ANOVA) terbagi menjadi 2 klasifikasi:

1. Klasifikasi satu arah

Klasifikasi satu arah adalah sebuah klasifikasi pengmatan yang hanya didasarkan pada satu kriteria.

     2.  Klasifikasi dua arah 

Klasifikasi dua arah adalah suatu pengamatan yang didasarkan pada dua kriteria seperti varietas dan jenis pupuk.suatu pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua criteria dengan menyusun data tersebut menjadi baris dan kolom, kolom menyatakan kriterika klasifikasi yang satu sedangkan baris menyatakan criteria klasifikasi yang lainnya.

SUMBER :
http://adzaniahdinda.wordpress.com/2013/04/07/distribusi-f-anova/

http://hatta2stat.wordpress.com/category/distribusi-normal-2/

http://sofwan-mat.blogspot.com/2013/06/uji-dengan-distribusi-t.html

tugas statistika 5 bab 4

Bab IV 

                                  ukuran Penyimpangan 
UKURAN PENYIMPANGAN

ukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi  rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah :

1.      Jangkauan (range)

2.      Simpangan rata-rata (mean deviation)

3.      Simpangan baku (standard deviation)

4.      Varians (variance)

5.      Koefisien variasi (Coefficient of variation)

1. Jangkauan (range)

Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). Ukuran ini sudah digunakan pada pembahasan daftar distribusi frekuensi. Adapun rumusnya adalah

Contoh : 

Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswaA = 60 55 70 65 50 80 40B = 50 55 60 65 70 65 55C = 60 60 60 60 60 60 60

Dari data diatas dapat diketahui bahwaA = memiliki Xmax=80, Xmin= 40 , R = 40 , meanya 60B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50 , R = 20 , meanya 60C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60 , R = 0 , meanya 60

Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa :
a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya
b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya
c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif
d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif

2. Simpangan Rata-rata (mean deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

§  Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

dimana xi merupakan nilai data

§  Data tunggal sebagian atau seluluh skornya berfrekuensi lebih dari satu

dimana xi merupakan nilai data

§  Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

dimana xi merupakan tanda kelas dari interval ke-i dan fi merupakan frekuensi interval ke-i

Contoh :

Dari tabel diperoleh 

3. Simpangan Baku (standard deviation)

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal

untuk data sample menggunakan rumus

untuk data populasi menggunkan rumus

Contoh :
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?

Jawab
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata-ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

Rumus Simpangan Baku Untuk Data Kelompok

§  untuk sample menggunakan rumus

§  untuk populasi menggunakan rumus

Contoh :
Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut

hitunglah berapa simpangan bakunya

1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

4. Varians (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.

Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi

Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel

Keterangan:σ² =varian satauragam untuk  populasi
S² =varian satauragam untuk  sampel
f_i =Frekuensi
x_i =Titik  tengah
x¯=Rata-rata(mean)sampel dan  μ = rata-rata populasi
n =  Jumlah data

5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut.

Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase.

Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

TUGAS STATISTIKA 4 BAB 3

                             BAB 3

                                               UKURAN NILAI SENTRAL DAN UKURAN NILAI LETAK

A. Pengertian Nilai Sentral

              Tendensi sentral merupakan upaya mengetahui kondisi kelompok subyek dengan mengetahui nilai sentral yang dimiliki. Nilai sentral suatu rangkaian data adalah nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili data tersebut. Suatu rangkaian data biasanya memiliki tendensi (kecenderungan) untuk memusat pada nilai sentral ini. Tendensi sentral ini memberi informasi tentang kecenderungan data dari kelompok sumber yang ada sebagai deskripsi dasar tentang kondisi kelompok sumber (subyek). 

B. Macam Nilai Sentral

1. Arithmatic Mean (Rata-rata)

Disebut dengan nama rata-rata. mean memberi informasi tentang besaran rata-rata yang ada pada data.

a. Menghitung rata-rata dengan data mentah

Bila data yang hendak dihitung masih dalam bentuk data raw input maka penghitungan rata-ratanya adalah jumlah seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya kejadian atau frekuensi.

X = dibaca X bar merupakan notasi untuk nilai rata-rata
 = dibaca sigma, yang berarti jumlah
X = nilai data dari X1 … Xn

Contoh: Persentase Keuntungan lima belas perusahaan

CV ASRI	CV BESRI	CV CESRI	CV DESRI	CV ESRI
5	6	8	7	9
CV FESRI	CV GESRI	CV HESRI	CV ISRI	CV JESRI
4	3	3	5	6
CV KESRI	CV LESRI	CV MESRI	CV NESRI	CV OSRI
3	4	3	4	5

Mean  = (5 + 6 + 8 + 7 + 9 + 4 + 3 + 3 + 5 + 6 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5)/5 = 75/15 = 5

b. Menghitung rata-rata dengan data dari table distribusi frekuensi

Bila data sudah tersaji dalam bentuk data frekuensi maka dipergunakan rumus:

Sebagai contoh tabel berikut:

Nilai Skor Keuntungan 15 Perusahaan
No	X	f	fX
1	3	4	12
2	4	3	12
3	5	3	15
4	6	2	12
5	7	1	7
6	8	1	8
7	9	1	9
	Jumlah	15	75

Mean = 75/15 = 5

2. Median

Median suatu rangkaian data adalah nilai tengah dari rangkaian data yang telah disusun secara berurut.

Contoh untuk Data Bercacah Ganjil:

Data:  3 4 5 5 6  Jumlah N = 5
Cara:
a. Susun data secara berurut.
b. Cari letak median dengan rumus
(letak median pada urutan ketiga)
c. Cari nilai median pada urutan ketiga (median = 5)

Contoh untuk Data Bercacah Genap:
Data: 3 4 4 5 6 6    Jumlah N = 6

a. Susun data secara berurut
b. Cari letak median dengan rumus
(letak median pada urutan 3,5)
c. Cari nilai median pada urutan 3,5 [median = (4 + 5)/2 = 4,5

Bila data sudah tersaji dalam bentuk table distribusi frekuensi maka digunakan rumus:


Mdn = Median
Bbn = Batas bawah nyata dari interval yang mengandung mediam
n      = Jumlah subyek
Cfb  = Kumilatif frekuensi dari bawah di bawah interval yang mengandung median
fd     = Frekuensi di dalam interval yang mengandung median
i        = Banyaknya nilai dalam tiap interval 

Nilai Skor Keuntungan 15 Perusahaan
No	X	f	Cfb
1	9	1	15
2	8	1	14
3	7	1	13
4	6	2	12
5	5	3	10
6	4	3	7
7	3	4	4
Jumlah		15

Langkah:
1. Tentukan interval yang mengandung median dengan menghitung n/2. dalam hal ini 15/2 = 7,52. Beri tanda interval yang mengandung median. dalam hal ini baris ke lima
3. Cari Kumulatif frekuensi dari bawah di bawah interval yang mengandung median, dalam hal ini 7.
4. Cari frekuensi yang ada di dalam interval yang mengandung median, dalam hal ini 3.
5. masukkan semua itu ke dalam rumus sebagai berikut:

3. Modus atau Mode

Modus dari suatu rangkaian data adalah nilai data yang paling sering muncul (frekuensi terbesar) dalam rangkaian data itu.

Contoh:
a. Data: 2 3 4 5 6
Karena data ini masing-masing frekuensi (kemunculan)-nya hanya 1, maka dikatakan tidak memiliki modus. 
b. Data: 2 3 4 4 5 6
Frekuensi terbesar adalah 2 (nilai empat muncul dua kali). Jadi modusnya adalah 4. Rangkaian data yang memiliki satu modus disebut Mono-modus.
c. Data: 2 3 4 4 5 6 6 7
Frekuensi terbesar adalah dua (muncul dua kali) yaitu angka 4 dan 6.
Jadi modus rangkaian data ini adalah 4 dan 6. Rangkaian data ini memiliki 2 Modus atau disebut Bi-modus.

3. Teman-teman Median

Teman teman median merupakan nilai-nilai ukuran letak yang menentukan posisi nilai tertentu yang dimiliki subyek. Terdiri dari kuartil, desil dan persentil

a. Kuartil (K)

Ukuran letak yang membagi suatu distribusi ke dalam 4 bagian yang sama, yaitu 25% data berada di bawah Kuartil 1 dan 75% data berada di atas Kwartil 1.
Kuartil 2 sama dengan Median.



Contoh Perhitungan:
Data penjualan komputer selama 7 bulan terakhir:
Data: 2 4 3 3 6 5 7 (N = 7)

Langkah:
a. Susun data secara berurut, menjadi:
     2 3 3 4 5 6 7 
     1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 

b. Cari letak kuartil dengan rumus di atas: 
K1 = 1(7 + 1)/4 = 8/4 = 2  data urutan kedua, jadi K1 = 3
K2 = 2(7 + 1)/4 = 16/4 = 4  data urutan keempat, jadi K2 = 4
K3 = 3(7 + 1) /4 = 24/4 = 6  data urutan keenam, jadi K3 = 6

b. Desil (D)
Desil dari suatu rangkaian data adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang sama.
Rumus letak desil dapat dikembangkan dari rumus kuartil di atas. Tinggal kita ubah angka pembagi (100) dan bilangan persentil yang dikehendaki, 1 30, 78 ....)


Contoh Perhitungan:
Data: 2 3 3 4 4 5 6 6 7 8 9 10 (N=12)
Urut 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)  9) 10) 11) 12) 

Langkah:
a. Letak D1 = 1(12 +1)/10 = 13/10 = Urutan 1,3 (atau 1 + 0,3)

Letak Desil 1 Bilangan Nilai
1 2 2
0,3 (3-2) 0,3
1,3 2,3

Nilai desil 1 adalah data urutan 1,3, yang bernilai 2,3.

b. D5 = 5(12 + 1)/10 = 65/10 = 6,5 (atau 6 + 0,5)

Letak Desil 5 Bilangan Nilai
6 5 5
0,5 (6-5) 0,5
6,5 5,5

Nilai desil 5 adalah data urutan ke 6,5, yang bernilai 5,5.

c. D9 = 9(12 + 1)/10 = 117/10 = 11,7 (atau 11 + 0,7)

Letak Desil 9 Bilangan Nilai
11 9 9
0,7 (10-9) 0,7
11,7 9,7

Nilai desil 9 adalah data urutan ke-12 (Desil 9 = 10).

c. Persentil (P)
Persentil suatu rangkaian data adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian yang sama besar.

Rumus persentil juga dapat dikembangkan dari rumus kuartil, tinggal kita ubah angka pembagi (100) dan bilangan persentil yang dikehendaki, 1 30, 78 ....)

Contoh Perhitungan Persentil:
Data: 2 3 3 4 4 5 6 7 10 12 13  N = 11
Urut: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)  9) 10) 11) 

Langkah:
a) Tentukan letak data
b) Letak nilai P50 = 50(11 + 1)/100 = 6
Nilai P 50 adalah data nomor urut 6 (P50 = 5)

c) Letak P20 = 20(11+1)/100 = 240/100 = 2,4 (atau 2 + 0,4)

Letak Persentil 20 Bilangan Nilai
2 3 3
0,4 (3-3) 0
2,4 3

Nilai P 20 adalah data pada urutan 2,4 (P20 = 3)

Data: 2 3 3 4 4 5 6 7 10 12 13  N = 11
Urut: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)  9) 10) 11) 

d) Letak P60 = 60 (11 + 1)/100 = 720/100 = 7,2 (atau 7 + 0,2)

d. Bila data sudah tersaji dalam bentuk tabel.
Kadang kita menemukan data yang sudah tersaji dalam bentuk tabel maka rumus yang digunakan sama dengan yang telah ada di median hanya kita tingga mengubah pembanginya sesuai dengan jumlah bagian yang dikehendaki serta mengubah bilangannya sesuai dengan posisi titik yang dikehendaki (Kuartil 1, Desil 6 dll). Sebagai contoh di sini disampaikan rumus kuartil:


Ki    =   Kuartil ke i
Bbn =  Batas bawah nyata dari interval yang mengandung kuartil ke i
n      =  Jumlah subyek
Cfb  =  Kumilatif frekuensi dari bawah di bawah interval yang mengandung 
             kuartil ke i
fd     =   Frekuensi di dalam interval yang mengandung kuartil ke i
i       =  Banyaknya nilai dalam tiap interval 

Demikian masalah tendensi sentral. yang jelas tendensi sentral ini sangat berfungsi bagi kita untuk membuat deskripsi data secara lebih jelas sehingga diketahui kecenderungan-kecenderungan yang dimiliki oleh kelompok subyek data. 

• Today, there have been 15 visitors (25 hits) on this page!